# 整数環とは何か 整数環 $\mathcal{O}_K$ は、数体 $K$ の中にある「整数らしい元」全体の集合です。 数体とは、有理数体 $\mathbb{Q}$ の有限次拡大のことです。 たとえば $K=\mathbb{Q}(i)$ や $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ は数体です。 ## 整数らしい元 $K$ の元 $\alpha$ が代数的整数であるとは、$\alpha$ が整数係数のモニック多項式の根になることです。 $ \alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0=0 \qquad (a_i\in\mathbb{Z}) $ このような $\alpha$ 全体を集めたものが、$K$ の整数環です。 $ \mathcal{O}_K=\{\alpha\in K\mid \alpha \text{ is an algebraic integer}\} $ ## 例 もっとも基本的な例は、ふつうの整数です。 $ \mathcal{O}_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Z} $ ガウス整数の世界では、整数環は次の形になります。 $ \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(i)}=\mathbb{Z}[i] $ つまり、$a+bi$ という形の数たちです。 $ \mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\} $ ## 何が変わるのか $\mathbb{Z}$ では、素数は因数分解の基本単位でした。 けれど、整数環を広げると、同じ素数がそのまま素数であり続けるとは限りません。 たとえば $\mathbb{Z}[i]$ では、 $ 5=(2+i)(2-i) $ となり、$5$ はもう分解してしまいます。 整数環とは、整数を捨てる場所ではありません。 むしろ、整数を別の世界へ運び、その世界で何が保たれ、何がほどけるのかを見る場所です。 次は [[素数はなぜ分解するのか]] へ進みます。