# イデアルという主語 イデアルは、数そのものではなく、「ある数で割り切れるものたち」をまとめて扱うための言葉です。 ふつうの整数で、$n$ の倍数全体は次のように書けます。 $ (n)=n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in\mathbb{Z}\} $ これは $\mathbb{Z}$ のイデアルです。 つまり、ひとつの数 $n$ を、その倍数全体という集合として見る。 ## 元から集合へ 整数環 $\mathcal{O}_K$ でも、元 $\alpha$ から主イデアルを作れます。 $ (\alpha)=\alpha\mathcal{O}_K $ けれど、すべてのイデアルがこの形になるとは限りません。 ここに、代数的整数論らしいずれが現れます。 数としての因数分解が壊れても、イデアルとしての因数分解はよく振る舞います。 数体の整数環では、任意の非零イデアルが素イデアルの積に一意分解されます。 $ \mathfrak{a}=\mathfrak{p}_1^{n_1}\cdots\mathfrak{p}_r^{n_r} $ ## なぜ主語を変えるのか 元を主語にすると、「どの数に分かれるか」を見ることになります。 イデアルを主語にすると、「どの割り切れ方に分かれるか」を見ることになります。 この違いは小さく見えますが、とても大きい。 代数的整数論では、数そのものよりも、数が作る割り切れ方の構造が安定していることが多いからです。 ## 次に見たいもの イデアルがいつ主イデアルになるのか。 主イデアルにならないずれは、どのように測るのか。 その答えのひとつが、イデアル類群です。 $ \mathrm{Cl}_K $ この記号は、整数環の中で「一意分解がどれくらい壊れているか」を測るための入口になります。